PENDENZA O DERIVATA? di Emilio Polverino[1]

Il problema della retta tangente ad una curva

 

 

L’articolo “Pensieri e … percorsi”, pubblicato lo scorso anno, sui limiti delle funzioni, suscitò positive reazioni da parte di alcuni colleghi per il modo, didatticamente semplice, di presentare argomenti di analisi infinitesimale già al terzo anno di un corso ordinario di liceo scientifico. La cosa non mi sorprese e mi spinse a ricercare nuove soluzioni per lo studio completo delle funzioni, sin dalla terza, senza entrare troppo nel merito del calcolo infinitesimale, rimandando il tutto al quinto anno. E la spinta ha giovato, per quello che stavolta vi presenterò.

L’argomento sembra essere ancora più carino di quello dello scorso anno ed ha trovato già interesse in alcuni colleghi, Grazia, Cleda, Lucio, la qualcosa mi ha spinto nella elaborazione della lezione per la sua sperimentazione, con risultati positivi.

Il problema è quello delle rette tangenti ad una curva, problema che si risolve, come è noto, col calcolo infinitesimale. E nei licei scientifici l’argomento viene svolto al quinto anno, costringendo docenti ed alunni ad un massacrante lavoro, per completare la preparazione per gli esami di stato. Come anticiparlo in terza?

Avevo da poco terminato con i ragazzi di 3^a B il lavoro sulle rette tangenti ad una parabola con i soliti metodi, sistema tra parabola e fascio di rette per il punto e condizione di tangenza, o legge dello sdoppiamento che i ragazzi riuscivano ad applicare in modo rapido.

Poi, l’idea! Quale? mi chiederete! Quello di presentare il problema sotto un altro aspetto: e cioè, che la retta  tangente ad una curva in uno qualsiasi dei suoi punti evidenzia la pendenza della curva in quel punto. E poiché la pendenza è il rapporto tra l’altezza e la base del triangolo rettangolo al di sotto della retta tangente, essa è anche il coefficiente angolare di tale retta tangente. Vediamo come procedere.

Prima di passare alla parabola, ho fatto lavorare i ragazzi sulla retta y = x facendo dedurre la pendenza della retta in ogni punto. Risultato, ovvio, m=1 = costante. Il grafico di m è una retta parallela all’asse delle x.

Poi siamo passati a y = 2x: risultato m=2, una retta sempre parallela all’asse delle x.

In generale, se y = kx, si avrà m = k = costante, una retta parallela all’asse delle x. Facile, no!

Considerazioni: Da una funzione di 1°grado si ottiene una funzione costante.

E per la parabola? Per non far perdere troppo tempo nel disegno, ho preparato il lavoro con Derive: ho rappresentato la parabola y = x², ho scelto alcuni punti (vedi figura), con Derive ho tracciato le retti tangenti in tali punti, ho stampato il tutto e l’ho consegnato ai ragazzi, un foglio a testa (avrei comunque potuto far fare tutto a loro ma con difficoltà nel disegno).

 

 

 

 Quindi, ho invitato i ragazzi a determinare l’inclinazione, la pendenza di ogni retta o meglio il coefficiente angolare di ogni retta tangente, usando la triangolazione.

Esempio: per la retta r, tangente alla parabola nel punto A(-3,9), il triangolo da considerare è AA₁A_2.

Risultato: m= AA₁/A₁A₂ = 9/(-1,5) = -6.

E così di seguito per tutte le rette tangenti.

Infine, ho fatto rappresentare graficamente l’andamento della pendenza.

 

Tabella di m=m(x)			Il risultato è la retta di equazione y = 2x. Così, dalla parabola y = x2 si ottiene la retta di equazione y = 2x. Da una funzione di 2° grado deriva una funzione di 1° grado. Non solo, ma l’esponente 2 della x nella equazione della parabola diventa coefficiente della x nell’equazione della retta. Domanda: E se avessi rappresentato y = x3?  Risposta rapida di alcuni: y = 3x2 Guarda un po’, hanno già compreso il meccanismo nel caso di funzioni polinomiali. Considerazioni:  Da una funzione di 1° grado (retta) si ottiene una funzione costante, da una di 2° grado una funzione di 1° grado, da una di 3° grado una funzione di 2° grado. Dunque, la pendenza di una funzione è un’altra funzione che deriva dalla precedente e per questo la diciamo funzione derivata.   La derivata di una funzione, in seguito indicata con D, y’, f’(x), in generale è una nuova funzione che rappresenta l’andamento della pendenza della curva in tutti i suoi punti.
x	m
-3	-6
-2	-4
-1	-1
0	0
1	1
2	4
3	6

 

In particolare, la derivata della funzione calcolata nel punto x₀ rappresenta la pendenza o il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto A di ascissa x₀.

  

Tornando al discorso iniziale, come determinare l’equazione della retta tangente ad una curva in un punto?

Per quanto detto, per calcolare m occorre calcolare la Derivata della funzione nel punto considerato.

E con Derive è facile (per gli esempi vedi altro articolo: Retta tangente, usiamo Derive).

 

Nelle lezioni successive, in laboratorio, i ragazzi si sono esercitati nel calcolo di m in vari punti di una curva nonché nello studio più ampio di una funzione, come nell’esempio che segue.

 

1) Con Derive ho fatto rappresentare graficamente la funzione x2/(x2+1) (curva blu) e la sua derivata (curva rossa), calcolata con Derive. 2) Osservando i due grafici, i ragazzi sono stati guidati nella scoperta delle relazioni tra derivata e funzione: a) D > 0 la funzione è crescente; b) D < 0 la funzione è decrescente; c) D=0 la funzione presenta un minimo.   Quindi, vi sono state varie prove di verifiche utilizzando diverse funzioni.   Successivamente si è passati al calcolo, risolvendo equazioni e disequazioni rapidamente utilizzando Derive.   In altre lezioni si dedurranno altre considerazioni sulla derivata e sulla funzione

 

 

   Ah, dimenticavo! La classe ospita un ragazzo americano, Owen, più avanti negli studi, che mi chiede perché tutto questo, quando è più facile ricorrere alla calcolatrice grafica o al limite del rapporto incrementale.

   Non è facile fargli capire che è interessante costruire per dedurre. Ed è questo metodo che ci consente di studiare in anticipo le funzioni, in modo pratico, ricorrendo alla costruzione geometrica e a Derive. Funziona davvero!

 

Salerno, 25 marzo 2006