UNITA' DI APPRENDIMENTO: SCUOLA PRIMARIA |
Bilancia Matematica, OPERAZIONI ARITMETICHE, FRAZIONI E TAVOLA PITAGORICA di Umberto Tenuta
La Bilancia matematica concreta e virtuale consente l’apprendimento e soprattutto il consolidamento delle 4 operazioni aritmetiche, delle frazioni e della Tavola Pitagorica
Desideriamo iniziare le esemplificazioni sull'uso delle tecnologie educative multimediali, muovendo da uno strumento didattico estremamente semplice, di largo impiego e accessibile a tutti, almeno nella versione digitale che ne offriamo.
Ci riferiamo alla bilancia matematica.
Precisiamo subito che esistono diverse versioni della Bilancia Matematica concreta, delle quali la più versatile ci sembra senz'altro quella che ora viene presentata nella versione virtuale e che noi avevamo già realizzato negli anni '70.
La Bilancia Matematica è un’asta orizzontale, costituita da due bracci numerati da uno a dieci: con essa si possono apprendere in particolare le quattro operazioni aritmetiche e la Tavola pitagorica. Ma è possibile utilizzarla anche per lo studio delle numerazioni nelle varie basi, delle frazioni ecc.
Ora ci soffermeremo sulle Quattro operazioni aritmetiche e sulla Tavola pitagorica, due utilizzazioni che da sole ne giustificano pienamente l’uso.
Diciamo innanzitutto che l'ideale sarebbe di muovere dall'utilizzazione di una Bilancia Matematica concreta per poi passare all'uso della Bilancia Matematica Virtuale (1) . Purtroppo non in tutte le scuole sono disponibili almeno 10/12 bilance matematiche concrete, sistemate su un carrello, da trasportare da un’aula all'altra, per l'impiego intensivo e quando è necessario.
Poi però aggiungiamo che la Bilancia Matematica va utilizzata in un secondo momento, quando gli alunni, seguendo opportuni itinerari didattici concret1 (2) hanno già compreso il significato delle operazioni e si trovano nella fase del loro consolidamento. La Bilancia Matematica serve soprattutto per il consolidamento delle competenze degli alunni, ma essa aiuta certamente anche a comprendere le quattro operazioni, quali che esse siano.
Come terza precisazione, diciamo che la Bilancia Matematica consente l'individualizzazione dell'insegnamento (3), perché gli alunni, individualmente o, meglio, in gruppi di due o tre, possono lavorare secondo i loro ritmi e stili di apprendimento.
Infine, diciamo che la Bilancia Matematica risolve il problema della correzione, rendendo possibile l'autocorrezione e quindi anche il risparmio del tempo sprecato dai docenti nella correzione delle quattro operazioni, soprattutto nelle prime classi della scuola elementare.
Occorre inoltre tenere presente che nel secondo braccio i numeri superiori al 10 debbono essere scritti sempre utilizzando quanto più possibile la decina e numeri alti: 15 si scrive 10 + 5 e non 8 + 7 e né 8 + 4+3.
Detto questo, cominciamo con la presentazione dell'addizione.
Una volta che gli alunni abbiano compreso, con opportune attività a livello manipolatorio concreto (4), il significato dell’addizione come unione di insiemi disgiunti, gli alunni possono consolidare le loro abilità di calcolo, almeno entro il 20, che debbono essere sempre sicure, spedite automatizzate (5).
Il primo approccio alla Bilancia Matematica deve essere di tipo informale: i bambini la manipolano, la utilizzano liberamente e come ritengono più opportuno. Attraverso attività di questo tipo apprendono a riequilibrare i pesi posti sui due bracci della bilancia.
Se sul primo braccio hanno posto un peso sul numero 5, debbono porre un peso sul numero 5 del secondo braccio per creare l'equilibrio e viceversa.
Per l’addizione si cominciano a porre due pesi diversi su due numeri diversi del primo braccio (quello di sinistra) e si compone sul secondo braccio (quello di destra) la somma, utilizzando il minor numero di pesi.
Conviene cominciare da due numeri bassi, che non diano una somma superiore al 10:
Inizialmente si opera con le addizioni di due numeri, poi si passa a tre, a quattro, cinque numeri ecc. (addendi).
È opportuno che, come sostiene il Mialaret, l'azione sia sempre accompagnata dalla verbalizzazione: i due o tre alunni che operano sulla Bilancia Matematica commentano verbalmente le operazioni che eseguono.
Di tale processo il Mialaret offre il seguente schema rappresentativo (6):
Sottrazione
È opportuno presentare subito la sottrazione come operazione inversa dell’addizione: che cosa facciamo infatti quando dobbiamo eseguire la sottrazione 10 - 4, se non ricercare il numero da aggiungere al 5 per raggiungere il 10:
4 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1 + 1
Sulla Bilancia Matematica si pone un peso sul numero 10 del primo braccio e un peso sul numero 6 del secondo braccio e si va alla ricerca del numero che occorre aggiungere al 4 per raggiungere il 10:
Inizialmente, si può operare entro il 10, ma poi si può passare a numeri più alti.
Al riguardo, diciamo subito che ciò che è necessario che gli alunni conoscano bene ( in forma automatizza ) le somme e le differenze o resti entro il 20.
Per moltiplicare si pongono due o più pesi sullo stesso numero del primo braccio e si equilibra con un numero sul secondo braccio. Ad esempio:
-sul numero 3 del primo braccio si pongono 3 pesi e sul secondo braccio si equilibra con il numero 9;
-sul numero 3 del primo braccio si pongono 4 pesi e sul secondo braccio si equilibra con il numero 12 (10+2):
Il concetto della moltiplicazione a livello concreto può essere presentato come ripetizione di addizioni con addendi eguali:
5 + 5 ( 5 preso per 2 volte: era questa l'espressione utilizzata inizialmente (7))
6 + 6 + 6 ( 6 preso per 3 volte).
La divisione può essere presentata come moltiplicazione inversa ovvero come sottrazione ripetuta (Divisione canadese (8)).
Se sul primo braccio si pone un peso sul numero 9 e sul secondo un peso sul numero 4 (9:4=), occorre equilibrare, ponendo 2 pesi sul 4 e un peso sull’1 (resto). Se invece sul primo braccio si pone un peso sul numero 7 e sul secondo braccio un peso sul 3 (7:3=), occorre equilibrare con 2 pesi sul 3 ed 1 peso sull’1 (RESTO)
Al riguardo, si noti che è opportuno muovere dalle divisioni con resto, perché in questo modo si impara una sola procedura, che vale anche quando il resto è 0.
Queste operazioni, prima eseguite sulla Bilancia Matematica concreta, vengono poi eseguite sulla Bilancia Matematica virtuale.
Evidentemente, la TAVOLA PITAGORICA è una moltiplicazione dei primi dieci numeri tra di loro e può essere appresa eseguendo ripetutamente le relative operazioni sulla Bilancia Matematica e con il CALCOLATORE LINEARE TENUTA che utilizza i numeri in colore (9).
Tuttavia, si ritiene opportuno che l’apprendimento della tavola pitagorica muova da attività di conta a 2 a 2, a 3 a 3 ecc. con materiali concreti opportunamente raggruppati oppure con i numeri in colori o altre attività e poi con la Bilancia Matematica (10).
Utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione (3 x 2 = 2 x 3), si possono ridurre alla metà i prodotti da memorizzare, come si evince dall’acclusa tabella.
Dividere in parti uguali e contarle.
Ovviamente, anche il concetto di frazione , come quelli di tutte le altre operazioni, va fatto riscoprire agli alunni prima attraverso opportune attività concrete, anche utilizzando i Numeri in colore (11):
10 diviso 2 = 5 (5 x 2 = 10) ovvero 10/2 = 5
8 diviso 2 = 4 (4 x 2 = 8) ovvero 8/2 = 4
Bilancia matematica virtuale
Le suddette operazioni possono essere eseguite sulla Bilancia Matematica Virtuale (12) dopo o anche in assenza della Bilancia Matematica concreta. Riteniamo che la differenza tra la Bilancia Matematica concreta e quella virtuale sia uno dei pochi casi in cui il virtuale sostituisce pienamente il concreto.
La Bilancia Matematica Virtuale può essere scaricata ed utilizzata liberamente dai singoli alunni nelle classi e consegnata agli stessi alunni anche per l'utilizzazione a casa.
Evidentemente, l'uso della Bilancia Matematica concreta o virtuale non impedisce che gli alunni possano anche registrare sui quaderni le operazioni eseguite.
Nella presentazione della Bilancia Matematica da parte del Prof. Arcisio Brunetti, che ne ha curato la realizzazione, si ritrovano le indicazioni necessarie perché i docenti possano predisporre le opportune esercitazioni, distintamente per i singoli gruppi di alunni, a seconda delle loro specifiche esigenze.
Esperienze, proposte, critiche possono essere inviate all'e-mail: umberto.tenuta@tin.it
NOTE
1) Può essere scaricata ed utilizzata liberamente dal Software offerto nei seguenti siti:
-AMBIENTI VIRTUALI DI APPRENDIMENTO
www.disced.unisa.it/ava/index.htm oppure www.ava-ut.it
-RIVISTA DIGITALE DELLA DIDATTICA: www.rivistadidattica.com
-Http://www.edscuola.it/archivio/didattica/index.html
2) TENUTA U., Itinerari aritmetici, La Scuola, Brescia, 1991.
3) TENUTA U., Individualizzazione – Autonomia e flessibilità dell’azione educativa e didattica, La Scuola, Brescia, 1998.
4) Per opportuni orientamenti cfr. TENUTA U., Itinerari aritmetici, La Scuola, Brescia, 1991.
5) In merito cfr.: RELAZIONE FASSINO ai Programmi didattici del 1985, Par. X – L’ALFABETIZZAZIONE CULTURALE, relativamente agli automatismi.
6) MIALARET G., L'apprendimento della matematica, Armando, Roma, 1969, pp. 46-47.
7) <<Per “dupplicare” o moltiplicare il segno era espresso da “fia” che deriva da “fiade”, volte: 2 fia 3 fa 6>> (RAPPORTO TECNICO N. 6, La notazione posizionale e le tecniche delle operazioni, Dipartimento dell’Università di Moderna, Comune di Modena-Assessorato alla P.I.-Centro di documentazione educativa, 1984, p. 16).
8) La Divisione canadese sarà prossimamente presentata nella presente RIVISTA DIGITALE DELLA DIDATTICA: www.rivistadidattica.com
9) TENUTA U., I numeri in colore, La Scuola, Brescia, 1994;
10) In merito cfr.: TENUTA U., Tavola pitagorica, in questa Rivista.
11) In merito cfr.: TENUTA U., Itinerari aritmetici, La Scuola, Brescia, 1991; TENUTA U., I numeri in colore, La Scuola, Brescia, 1994.
12) La BILANCIA MATEMATICA VIRTUALE è stata realizzata dal Prof. Arcisio Brunetti che anche da queste pagine desideriamo continuare a ringraziare per l’apprezzabilissimo lavoro fatto, anche relativamente alle possibilità offerte dal software di predisporre agevolmente apposite esercitazioni.
